Bir

 

Yunan mitolojisinin en güçlü kahramanı Akhilleus ile dünyanın en yavaş hayvanı kaplumbağa yarış yapmaya karar verirler. Akhilleus, dünyanın en hızlı insanı olduğu için, bu yarışın adaletsiz olacağı düşüncesiyle kaplumbağaya avans verir; kaplumbağa, yarışa daha ileriden başlayacaktır.

M.Ö. 5. yüzyılda yaşayan Yunan filozofu Zeno, bu probleme şöyle yaklaşır: Akhilleus, kaplumbağanın yarışa başladığı noktaya ulaştığında, kaplumbağa bir miktar ilerlemiş olacaktır. Akhilleus, kaplumbağanın ikinci konumuna ulaştığında da aynısı olacaktır. Bu, kaplumbağanın daha sonraki tüm konumları için de geçerlidir. O halde, Akhilleus’un kaplumbağayı “yakalaması” matematiksel olarak mümkün değildir. Zeno bu paradokstan hareketle şöyle bir düşünceye ulaşıyor: “Hareket sadece bir yanılsamadır”.

Buyurun size, güzel bir problem daha:

0.999… sayısı, yani basamakları sonsuza kadar 9’la devam eden sayı 1’e eşit midir, değil midir? Matematikçiler, 0.999… = 1 diyorlar. Cebirsel ve analitik ispatları merak edenler, matematik forumlarına ya da açık ansiklopedi Wikipedia’da ilgili maddeye bakabilirler. Ancak bu da bitmek tükenmek bilmez bir tartışmanın konusu. Bir eşitliğin solunda ve sağında aynı sembolik ifadeyi görmeyi bekleyenler için matematiksel ispat hayal kırıklığı yaratan bir sonuç; böyle olunca da tartışma sürüp gidiyor.

Bir de tabi matematik dünyasının “sihirli” sayıları var:  π, e ve φ sayıları gibi. π ve e sayıları başka bir tartışmanın konusu. Biz φ sayısına, yani altın oran olarak bilinen sayıya bakalım:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ,.. diye sonsuza kadar giden sayı serisine Fibonacci sayı serisi diyoruz. Bu serinin özelliği şu: 1 ve 1’den sonra seriyi oluşturan sayı, önceki iki sayının toplanması ile bulunuyor:

1+1 =2 , 1+2=3 , 2+3=5 , 3+5 = 8 , 5+8= 13 , …..

Seriyi oluşturan sayıları birbirine oranladığımızda, ilk 10 basamakta şu sonuçları buluyoruz:

1/1 = 1.0000000000

1/2 = 0.5000000000

2/3 = 0.6666666666

3/5 = 0.6000000000

5/8 = 0.6250000000

8/13 = 0.6153846154

13/21 = 0.6190476190

21/34 = 0.6176470588

34/55 = 0.6181818181

55/89 = 0.6179775281

89/144 = 0.6180555555

144/233 = 0.6180257511

233/377 = 0.6180371353

377/610 = 0.6180327869

610/987 = 0.6180344478

987/1597 = 0.6180338134 ……….

Merak edenler, bir excell tablosunda daha büyük sayıları birbirlerine oranlasınlar. φ sayısının ilk on basamakta, ancak 30. Fibonacci sayısı 31. Fibonacci sayısına oranlandıktan sonra 0.6180339887’de sabitlenmeye başladığını görecekler. Basamak sayısı arttırıldığında ise, φ sayısının hala sabitlenmediği görülecektir; Sonsuza kadar da sabitlenmeyecek. Yukarıda gördüğünüz değerleri bir x-y eksenine dökerek bakarsanız, şöyle bir grafikle karşılaşacaksınız:

Fibo

 

Grafikte φ sayısı sabitlenmiş gibi görünüyor. Oysa grafiğin sabitlenmiş gibi görünen kısmına daha yakından ve daha yüksek bir hassasiyetle bakarsanız, İlk sayılardakine benzer biçimde “titreşimlerin” devam ettiğini görecektiniz. Eğer hassasiyetiniz 100 basamaksa, sabit bir sayı elde edebilmek için daha büyük sayıları birbirine bölmeniz gerekecekti; 1,000 basamaksa daha da büyük, 1,000,000 basamaksa ekranınıza sığmayacak kadar büyük sayılarla uğraşmanız gerekecekti.

φ sayısının ilginç özellikleri var. Bunlardan sadece bir tanesine dikkat çekmek istiyorum: Fibonacci sayılarını birbirine bölmeye başladığınızda, her seferinde elde ettiğiniz sayının bir öncekine göre, sırasıyla bir küçük, bir büyük olduğunu göreceksiniz. Başka bir deyişle, bölme işlemlerinizde φ sayısına bir aşağıdan, bir yukarıdan yaklaşmaya çalışıyorsunuz.

Bu “bir küçük, bir büyük sayıyla” φ sayısına yaklaşma işlemi, düşünce ufuklarına yelken açmak isteyeni çok ilginç felsefe yolculuklarına götürür. Mesela bize, düzenli bir aritmetik seriyle artan büyüme modellerinin, kendi içinde “dalgalandığını” hatırlatır. Birbirinin üstüne yığılarak bir trende katılan kitlelerin, gitgide “enerjilerini kaybettiğini” düşündürür. Kitlelerin bilinçsizce altın oranı “aradığını” akla getirir. Ancak aynı zamanda çılgınca bir  fikri daha tetikler: Sayılar ne kadar büyük olursa olsun, bir tek bireyin bile “kararının” sistemin bütününü etkileyecek bir etki yarattığını gösterir. Açalım:

3,524,578 sayısı, Fibonacci sayı serisindeki 33. sayıdır. Bu sayıyı serideki 34. sayı olan 5,702,887’ye böldüğünüzde, ilk 10 basamak dikkate alındığında 0.6180339887 elde edersiniz. Pratik uygulama bakımından biz genellikle ilk üç basamağı alır ve hesaplarımızda 0.618 oranını kullanırız.

34. Fibonacci sayısına 1 eklediğimizde 5,702,888 buluruz. 33. Fibonacci sayısı olan 3,524,578’i bu sayıya oranladığımızda elde ettiğimiz sayı, ilk 10 basamak dikkate alındığında 0.6180338804 olur. Bir önceki işlemde elde ettiğimiz sayıyı, bir sonraki işlemde elde ettiğimiz sayıdan çıkartalım:

0.6180339887 – 0.6180338804 = 0.0000001084

Bunun anlamı şudur: 34. Fibonacci sayısı 1 arttırıldığında, sistemde sıfırdan sonraki 7. basamakta – yani kabaca milyonda bir ölçeğinde – bir değişiklik olmuştur.

Bu değişikliğin ne önemi var ki, diye düşünülebilir. Şöyle düşünün: Yeryüzünden birbirinin tamamen aynı iki roketi uzaya, aynı konumdan aynı doğrultuda ve aynı hızla, 10 saniye farkla fırlatıyorsunuz. Bu iki roket uzayın aynı noktalarına mı gider? 10 saniye içinde sizin hesaplarınız içinde “ihmal edilebilir” kabul ettiğiniz yüzlerce değişim olacaktır. Dünya 10 saniye içinde çok küçük de olsa uzaydaki konumunu değiştirecek, atmosferde çok küçük de olsa bazı değişimler olacak, ilk çıkış hızını vermek için kullandığınız yakıtta, havadaki toz zerrelerinde, gezegenlerin konumunda, kısacası sizin “ihmal edilebilir” kabul ettiğiniz her şeyde değişim olacak. Bu değişimler belki fırlattığınız roketlerin 1 ay, 1 sene, ya da 1 yüzyıl sonraki konumunda dramatik sapma yapmayacak. Ancak nihai olarak roketlerinizden biri galaksinin bir ucuna, diğeri diğer ucuna gidecektir. İhmal edilebilir kabul edilen herhangi bir değişim, nihai olarak bambaşka sonuçlar veren süreçlere neden olur. Buna kelebek etkisi deniyor.

İnsanların çoğu, “ihmal edilebilir” değişimleri “ihmal etmeye” meyillidir. Onlar çok daha yakın ve önemli sonuçlarla ilgilidir. Peki, “yakın ve önemli sonuç” dediğimiz nedir? Bu sonuç da, ne kadar “önemli” olursa olsun, daha büyük ve önemli sonuçların ihmal edilebilir bir küsuratı değil midir?

Peki…

Akhilleus ile kaplumbağaya,

0.999… sayısının 1’e eşitliğine,

büyük Fibonacci sayılarına,

5,702,887’ye,

9,227,465’ye,

14,930,352’ye,

24,157,817’ye,

39,088,169’a,

63,245,986’ya eklenen 1’e ne oldu?

O “1”, hepimizin kısacık ömürlerimiz içinde verdiğimiz küçük ve önemsiz kararlardan başka bir şey değil.

Küçük ve önemsiz mi dedim? Dil sürçmesi… Matematiğin doğasına göre her birimiz, uzun vadede Pasifik’te kasırgalar yaratacak bir etkiye sahip kelebekleriz.

Reklamlar

1 thought on “Bir”

  1. Tuncer Bey Merhaba.
    Fibonacci sayilarindan yola cikarak bizi son derece onemli bir noktaya tasidiginiz icin tesekkurler. Gercekten muazzam bir yaklasim.

    Beğen

Yorumlar kapatıldı.